Численные эксперименты
с использованием модели ФитцХью-Нагумо (серия 01)

Рис 1. Одна из форм полевой модели возбудимой среды ФитцХью-Нагумо (A. Winfree, Chaos 1991;1(3)).

В 2006 году с целью более тщательного изучения зависимости индексов вариабельности ЭКГ от состояния миокарда при желудочковой аритмии нами были проведены теоретические исследования, в ходе которых in silico (по выражению участников проекта Physiome - см, "Кибернетическая кардиология": История развития научного направления) были воспроизведены классические эксперименты Винфрии (A. Winfree, Chaos 1991;1(3)), дополненные нами регистрацией псевдо-ЭКГ в нескольких точках над "виртуальным миокардом" модели ФитцХью-Нагумо (FitzHugh-Nagumo). Вид модели ФитцХью-Нагумо (ФХН) см на рис 1.

Рис 2. Плоскость параметров e и b модели ФитцХью-Нагумо. Ось e построена в логарифмическом масштабе. Границы областей обозначены в соответствие с [A. Winfree, Chaos 1991;1(3)].

Напомним, что Винфрии выделил в пространстве параметров ФХН несколько областей, задающих характер меандра (meander) - дрейфа ревербератора (ревербератор, или ротор в терминологии Винфрии, - это особый источник спиральной волны, который возникает вне привязки к структурной неоднородности среды). Подробнее области пространства параметров ФХН см рис 2. Все разнообразие меандра ротора в возбудимой среде получило в научной литературе получило название "цветник" (flower garden). Здесь вы можете полюбоваться "цветами, выращенными в наших экспериментах".

В ходе данной серии экспериментов мы воспроизвели результаты Винфрии в области параметров:
0.1 £ e £ 0.3 и 0.0 £ b £ 1.3. Эксперименты выполнены при помощи разработанной Ю.Е. Елькиным компьютерной программы AutoWaveModelling, версии декабря 2003 года. "Фотографии" спиральной волны, полученные при разных значениях параметров модели, см здесь .

Интересные изменения характера меандра происходят в узкой (и протяженной!) области пространства параметров, а именно вблизи "границы меандра" ¶M (the meander boundary, по выражению Винфрии). Я по этой области при e=0.2 прошелся с шагом Db=0.010. "Фотографии" спиральной волны, полученные в данной области, см здесь . Обратите внимание на переход движения кончика спиральной волны от гипоциклоиды к эпициклоиде, а также на интересный феномен, наблюдаемый при b=0.940, - прямолинейный (почти) дрейф ядра ревербератора. Ефимов (I. Efimov, V. Krinsky, J. Jalife. Chaos Solitons Fractals 1995;5) утверждал, что при циклоидальном движении ядра ревербератора аритмия невозможна, поскольку ревербератор разрушается при столкновении его ядра с границей среды. Тем не менее в литературе есть указания, что при некоторых обстоятельствах ядро способно отражаться от границ - и в этой ситуации разрушения ревербератора не происходит. В наших экспериментах при e=0.2 и b=0.940 возник именно такой феномен, когда ядро, отражаюсь от границ, спокойно продолжало свой путь в новом направлении. Более детальное изучение этого феномена нами покамест не проводилось, поскольку это выходит за рамки поставленной задачи.

Еще одна интересная область пространства параметров ФХН находится между границей меандра ¶M и границей ротора ¶R (the rotor boundary, согласно Винфрии). Мы эту область параметров назвали "воронкой мономорфности", поскольку в ее пределах наблюдается устойчивое равномерное вращение спиральной волны вокруг круглого неподвижного ядра, которое создает колебания "электрического поля" над возбудимой средой правильной регулярной формы, какое свойственно высокочастотным мономорфным желудочковым аритмиям. Несомненно, интересной и полезной с практической точки зрения является задача диагностики состояния возбудимой среды по временному ряду, отражающему колебания "электрического поля" над возбудимой средой (т.е., в рамках электрокардиологии, диагностика по ЭКГ состояния миокарда при мономорфных желудочковых аритмиях). Мы планируем более аккуратно заняться решением этой задачи в ближайшее время, а покамест я провел предварительное исследование в следующих областях:
1) с шагом Db=0.100 при e=0.100 и 0.000 £ b £ 0.400;
2) с шагом Db=0.100 при e=0.200 и 0.000 £ b £ 0.600.
3) с шагом Db=0.010 при e=0.200 и 1.000 £ b £ 1.040.
4) с шагом Db=0.050 при e=0.300 и 0.000 £ b £ 0.800, а также b=0.820;
"Фотографии" спиральной волны, полученные в "воронке мономорфности", см здесь .

На рис 2 прерывистыми линиями обозначены значения параметров, при которых период ротора t₀ и период модуляции кратны, в результате чего кончик ротора движется по устойчивой траектории, формируя "цветочки": четырех-лепестковый (four-petal flower), когда угол между лепестками равен 90° и трех-лепестковый, когда угол между лепестками равен 120°. При угле равном 0° наблюдается циклоидальное движение кончика, при котором траектория не замыкается. В модели ФХН не удалось еще получить двух-лепестковый цветок с углом 180° между лепестками, однако это, вероятно, обусловлено тем, что по причине удорожания компьютерного счета при сверхмалых значениях e, в нужную область параметров исследователи еще не добирались. Известно, что такого рода линейные ядра ротора наблюдаются экспериментаторами в реальном миокарде, а Ефимову удалось получить ротор с линейным ядром в численных экспериментах (in silico) на более сложной модели возбудимой среды - модели Билера-Рейтера (I. Efimov, V. Krinsky, J. Jalife. Chaos Solitons Fractals 1995;5). Ефимов также указал, что линейное ядро было им получено лишь для четырех точек пространства параметров, поскольку проведение экспериментов в данной области параметров требуют значительного компьютерного времени Отмечу, что мне на данную серию экспериментов с ФХН - примерно 90 точек пространства параметров - пришлось затратить около семисот часов компьютерного времени, что при счете на десяти персональных компьютерах не ниже Пентиум-3 заняло около недели, а при меньших значениях e время счета увеличится на порядок. Тем не менее, весьма интересно и полезно изучить поведение ротора и соответствующих порождаемых им колебаний "электрического поля" (псевдо-ЭКГ) в тех областях пространства параметров ФХН, которые наиболее соответствуют нормальному состоянию миокарда. И мы планируем такое исследование провести.

ЭКГ, полученные при разных параметрах модели ФХН см здесь .

АНИМ-портреты, полученные при разных параметрах модели ФХН см здесь .